시계열 모델 원리 적용 사례 (ARIMA, GARCH)

 

1. 시계열 모델이란?

시계열 모델(Time Series Model)은 일정한 시간 간격으로 수집된 데이터를 분석하고 미래를 예측하는 데 사용됩니다. 금융 시장에서는 주가, 환율, 금리 등의 변동성을 분석하는 데 활용됩니다.

대표적인 시계열 모델로는 ARIMA(AutoRegressive Integrated Moving Average)와 GARCH(Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)가 있으며, 각각 가격 예측과 변동성 모델링에 사용됩니다.

2. ARIMA 모델 (AutoRegressive Integrated Moving Average)

(1) ARIMA 모델 개요

ARIMA 모델은 자기 회귀(AR), 차분(I), 이동평균(MA) 요소를 조합하여 시계열 데이터를 분석하고 예측하는 대표적인 시계열 모델입니다.

• AR (AutoRegressive, 자기 회귀): 과거 값이 현재 값에 영향을 미치는 모델
• I (Integrated, 차분): 데이터의 정상성을 확보하기 위해 차분을 수행
• MA (Moving Average, 이동평균): 과거 예측 오차를 활용하여 현재 값을 조정

(2) ARIMA 모델 수식

일반적인 ARIMA(p, d, q) 모델은 다음과 같이 표현됩니다.

Y_t = c + φ_1 Y_{t-1} + φ_2 Y_{t-2} + ... + φ_p Y_{t-p} 
      + θ_1 ε_{t-1} + θ_2 ε_{t-2} + ... + θ_q ε_{t-q} + ε_t

• p: 자기 회귀(AR) 차수
• d: 차분 횟수
• q: 이동평균(MA) 차수
• ε_t: 백색잡음(White Noise)

(3) 금융 데이터 적용 사례

ARIMA 모델은 주가 예측, 환율 예측 등에 활용됩니다.

Python을 이용한 ARIMA 모델 구현 (주가 예측)

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from statsmodels.tsa.arima.model import ARIMA

# 데이터 불러오기
data = pd.read_csv("stock_prices.csv", parse_dates=["Date"], index_col="Date")
close_prices = data["Close"]

# ARIMA 모델 학습
model = ARIMA(close_prices, order=(2,1,2))  # p=2, d=1, q=2
model_fit = model.fit()

# 예측 수행
forecast = model_fit.forecast(steps=30)

# 결과 시각화
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(close_prices, label="Actual Prices")
plt.plot(forecast, label="ARIMA Forecast", linestyle="dashed", color="red")
plt.legend()
plt.show()

(4) ARIMA 모델의 장단점

장점	단점
비정상성을 차분(I)으로 해결 가능	비선형적인 데이터 예측에는 한계
주가, 금리, 환율 예측에 널리 활용	파라미터(p, d, q) 설정이 어려움
단기 예측에 효과적	장기 예측에서는 성능 저하 가능

3. GARCH 모델 (Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity)

(1) GARCH 모델 개요

GARCH 모델은 금융 시장에서 변동성을 분석하고 예측하는 데 사용됩니다. ARIMA 모델이 가격 수준을 예측하는 반면, GARCH 모델은 가격 변동성(Volatility)을 예측하는 데 특화되어 있습니다.

• ARCH (Autoregressive Conditional Heteroskedasticity): 시계열 데이터에서 변동성이 시간이 지남에 따라 변화하는 패턴을 분석
• GARCH (Generalized ARCH): ARCH 모델의 확장으로, 더 긴 기간의 변동성을 반영

(2) GARCH 모델 수식

GARCH(1,1) 모델의 일반적인 형태는 다음과 같습니다.

σ²_t = α₀ + α₁ ε²_{t-1} + β₁ σ²_{t-1}

• σ²_t: 현재 시점의 변동성
• α₀: 상수 항
• α₁: 이전 오차 항의 영향력
• β₁: 이전 변동성의 영향력

(3) 금융 데이터 적용 사례

GARCH 모델은 주가의 변동성을 예측하고 리스크를 관리하는 데 사용됩니다.

Python을 이용한 GARCH 모델 구현 (변동성 예측)

import pandas as pd
import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
from arch import arch_model

# 데이터 불러오기
data = pd.read_csv("stock_prices.csv", parse_dates=["Date"], index_col="Date")
returns = data["Close"].pct_change().dropna()  # 수익률 계산

# GARCH(1,1) 모델 학습
model = arch_model(returns, vol="Garch", p=1, q=1)
model_fit = model.fit()

# 변동성 예측
forecast = model_fit.forecast(start=len(returns), horizon=30)

# 결과 시각화
plt.figure(figsize=(12,6))
plt.plot(forecast.variance.iloc[-1], label="GARCH Predicted Volatility", color="red")
plt.legend()
plt.show()

(4) GARCH 모델의 장단점

장점	단점
변동성을 정확하게 예측 가능	일반 투자자에게 적용하기 어려움
위험 관리 및 옵션 가격 모델에 유용	과거 데이터 의존도가 높음
금융 시장에서 널리 활용됨	단기 변동성 예측에 초점

4. ARIMA와 GARCH의 비교

모델	주요 목적	주요 활용 분야	한계점
ARIMA	가격 예측	주가, 환율, 경제 지표	비선형 데이터 예측 어려움
GARCH	변동성 예측	리스크 관리, 옵션 가격	과거 데이터 의존성

5. 결론: 금융 데이터에서 ARIMA와 GARCH 활용

ARIMA 모델은 가격 수준을 예측하는 데 효과적이며, 단기적인 금융 데이터 예측에 강점을 가집니다. 반면, GARCH 모델은 변동성을 분석하고 리스크를 관리하는 데 유용합니다.

• 주가 예측: ARIMA 모델 활용
• 리스크 관리: GARCH 모델 활용
• 포트폴리오 최적화: 두 모델을 병행하여 사용

투자자는 자신의 투자 목적에 맞는 시계열 모델을 선택하여, 보다 정교한 금융 데이터 분석을 수행할 수 있습니다.